座標空間内の4点 $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 2)$, $D(2, 3, 0)$ が与えられている。点$P$が線分$AB$上を動くとき、線分$CP$と線分$PD$の長さの和 $CP + PD$ が最小となるような点$P$の座標を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の4点 $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 2)$, $D(2, 3, 0)$ が与えられている。点$P$が線分$AB$上を動くとき、線分$CP$と線分$PD$の長さの和 $CP + PD$ が最小となるような点$P$の座標を求める。

2. 解き方の手順

線分 $AB$ 上の点 $P$ は、パラメータ $t$ を用いて $P(1-t, t, 0)$ と表すことができる（ただし、$0 \le t \le 1$）。

$CP + PD$ を $t$ の関数として表し、$CP + PD$ を最小にする $t$ の値を求める。

まず、$CP$ の長さを求める。

$CP = \sqrt{(1-t-0)^2 + (t-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(1-t)^2 + t^2 + 4} = \sqrt{1 - 2t + t^2 + t^2 + 4} = \sqrt{2t^2 - 2t + 5}$

次に、$PD$ の長さを求める。

$PD = \sqrt{(1-t-2)^2 + (t-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1-t)^2 + (t-3)^2} = \sqrt{(t+1)^2 + (t-3)^2} = \sqrt{t^2 + 2t + 1 + t^2 - 6t + 9} = \sqrt{2t^2 - 4t + 10}$

$CP + PD = \sqrt{2t^2 - 2t + 5} + \sqrt{2t^2 - 4t + 10}$

この式を最小にする $t$ を求めるのは難しい。

そこで、点$C$を$xy$平面に関して対称な点$C'(0,0,-2)$を取る。

$CP = C'P$なので、$CP+PD = C'P + PD$となる。

したがって、$C'P+PD$が最小となるのは、$C',P,D$が一直線上にあるときである。

$C'(0, 0, -2)$と$D(2, 3, 0)$を通る直線の方程式は、

$\frac{x-0}{2-0} = \frac{y-0}{3-0} = \frac{z-(-2)}{0-(-2)}$

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{2}$

この直線と直線$AB$の交点を求める。

直線$AB$の方程式は、

$\vec{p} = (1,0,0) + t(-1,1,0) = (1-t, t, 0)$

ここで、$\frac{1-t}{2} = \frac{t}{3} = \frac{0+2}{2}=1$

$\frac{1-t}{2} = 1$より、$1-t=2$, $t=-1$。

$\frac{t}{3} = 1$より、$t=3$。

$t$の値が一致しないので、直線$C'D$と直線$AB$は交わらない。

$P(1-t, t, 0)$とすると、$CP+PD = \sqrt{2t^2 - 2t + 5} + \sqrt{2t^2 - 4t + 10}$

これを$f(t)$とおくと、$f'(t) = \frac{4t-2}{2\sqrt{2t^2-2t+5}} + \frac{4t-4}{2\sqrt{2t^2-4t+10}} = \frac{2t-1}{\sqrt{2t^2-2t+5}} + \frac{2t-2}{\sqrt{2t^2-4t+10}}$

$f'(t) = 0$のとき、$\frac{2t-1}{\sqrt{2t^2-2t+5}} = - \frac{2t-2}{\sqrt{2t^2-4t+10}}$

$\frac{(2t-1)^2}{2t^2-2t+5} = \frac{(2t-2)^2}{2t^2-4t+10}$

$(4t^2-4t+1)(2t^2-4t+10) = (4t^2-8t+4)(2t^2-2t+5)$

$8t^4 - 16t^3 + 40t^2 - 8t^3 + 16t^2 - 40t + 2t^2 - 4t + 10 = 8t^4 - 8t^3 + 40t^2 - 16t^3 + 16t^2 - 40t + 8t^2 - 8t + 20$

$8t^4 - 24t^3 + 58t^2 - 44t + 10 = 8t^4 - 24t^3 + 64t^2 - 48t + 20$

$0 = 6t^2 - 4t + 10$

$0 = 3t^2 - 2t + 5$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(5)}}{6}$

これは実数解を持たない。$0 \le t \le 1$

$f(0) = \sqrt{5} + \sqrt{10}$

$f(1) = \sqrt{5} + \sqrt{8} = \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

$t = 1/2$, $P(1/2, 1/2, 0)$

$f(1/2) = \sqrt{2(1/4) - 2(1/2) + 5} + \sqrt{2(1/4) - 4(1/2) + 10} = \sqrt{1/2 - 1 + 5} + \sqrt{1/2 - 2 + 10} = \sqrt{8/2} + \sqrt{17/2} = 2 + \sqrt{8.5} = 2\sqrt{2}+\sqrt{\frac{17}{2}} \approx 5$

ここで、$f(1) = f(0) < f(1)$となり、$f(0)= \sqrt{5}+\sqrt{10} \approx 5.3$, $f(1)=\sqrt{5}+2\sqrt{2} \approx 4.5$, $\min(CP+PD)=4.5$

$P=(0,1,0)$

3. 最終的な答え

$P(0, 1, 0)$