24番と25番の問題を解きます。条件を満たすための必要条件、十分条件を選ぶ問題です。

## 問題の解答

1. 問題の内容

24番と25番の問題を解きます。条件を満たすための必要条件、十分条件を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

**24番**

(1) $x<1$ は $x \le 1$ であるための条件を考えます。

$x < 1$ ならば $x \le 1$ は必ず成り立ちますが、$x \le 1$ であっても $x < 1$ とは限りません（$x = 1$ の場合）。

したがって、$x < 1$ は $x \le 1$ であるための十分条件です。

(2) $x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための条件を考えます。

$x < y$ であっても、$x^4 < y^4$ が成り立つとは限りません（例：$x = -2, y = -1$）。

$x^4 < y^4$ であっても、$x < y$ が成り立つとは限りません（例：$x = -1, y = 2$）。

したがって、$x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

(3) $xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための条件を考えます。

$xy + 1 = x + y$ を変形すると $xy - x - y + 1 = 0$ となり、$(x - 1)(y - 1) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$x = 1$ または $y = 1$ です。

$x, y$ のうち少なくとも1つは1であれば $xy + 1 = x + y$ は成り立ちます。

したがって、$xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための必要十分条件です。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A < 90^\circ$ は、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための条件を考えます。

$\angle A < 90^\circ$ であっても、他の角が $90^\circ$ 以上であれば鋭角三角形ではありません。

$\triangle ABC$ が鋭角三角形であれば、$\angle A < 90^\circ$ は成り立ちます。

したがって、$\angle A < 90^\circ$ は、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

**25番**

(1) $A$ の要素の個数が2であることは、$a$ が素数であるための条件を考えます。

$A = \{x \mid x \text{ は } a \text{ の正の約数}\}$

$A$ の要素の個数が2であることは、$a$ の正の約数が1と $a$ のみであることを意味します。

これは $a$ が素数であることと同値です。

したがって、$A$ の要素の個数が2であることは、$a$ が素数であるための必要十分条件です。

(2) $A \cap B = \{1, 2\}$ であることは、$a$ と $b$ がともに偶数であるための条件を考えます。

$A \cap B = \{1, 2\}$ より、$a$ と $b$ は少なくとも1と2を約数に持ちます。つまり、$a$ と $b$ はともに偶数です。

しかし、$a$ と $b$ がともに偶数であっても、$A \cap B = \{1, 2\}$ とは限りません（例：$a=4, b=6$ なら $A \cap B = \{1, 2\}$ に加え、$A \cap B = \{1, 2, 4\}$）。

したがって、$A \cap B = \{1, 2\}$ であることは、$a$ と $b$ がともに偶数であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(3) $a \le b$ であることは、$A \subset B$ であるための条件を考えます。

$a \le b$ であっても、$A \subset B$ が成り立つとは限りません（例：$a=4, b=6$ なら $A = \{1, 2, 4\}$、$B = \{1, 2, 3, 6\}$ なので、$A \not\subset B$）。

$A \subset B$ ならば、$a$ のすべての約数は $b$ の約数です。しかし、$a \le b$ が成り立つとは限りません（例：$a=2, b=4$）。

したがって、$a \le b$ であることは、$A \subset B$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

**24番**

(1) (ウ)

(2) (エ)

(3) (ア)

(4) (イ)

**25番**

(1) (ア)

(2) (ウ)

(3) (エ)