行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して、 (1) ケーリー・ハミルトンの公式 $A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = 0$ が成り立つことを示す。ここで $\mathrm{tr}A = a+d$ は $A$ のトレース、$\det A = ad-bc$ は $A$ の行列式、$I$ は単位行列、$0$ は零行列である。 (2) $\mathrm{tr}A = 1$ かつ $\det A = 1$ であるならば、$A^3 = -I$ となることを示す。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して、

(1) ケーリー・ハミルトンの公式 $A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = 0$ が成り立つことを示す。ここで $\mathrm{tr}A = a+d$ は $A$ のトレース、$\det A = ad-bc$ は $A$ の行列式、$I$ は単位行列、$0$ は零行列である。

(2) $\mathrm{tr}A = 1$ かつ $\det A = 1$ であるならば、$A^3 = -I$ となることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $A^2$, $(\mathrm{tr}A)A$, $(\det A)I$ を計算し、$A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I$ が零行列になることを示す。

$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{bmatrix}$

$(\mathrm{tr}A)A = (a+d)\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^2 \end{bmatrix}$

$(\det A)I = (ad-bc)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{bmatrix}$

$A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = \begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a^2+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+bc-a^2-ad+ad-bc & ab+bd-ab-bd+0 \\ ca+dc-ac-cd+0 & cb+d^2-ad-d^2+ad-bc \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

よって、$A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = 0$ が示された。

(2) $\mathrm{tr}A = a+d = 1$ かつ $\det A = ad-bc = 1$ であるとき、$A^3 = -I$ を示す。

(1)の結果から、$A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = 0$ である。したがって、$A^2 - A + I = 0$ より、$A^2 = A - I$ となる。

$A^3 = AA^2 = A(A-I) = A^2 - A = (A-I) - A = -I$

よって、$A^3 = -I$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = 0$

(2) $A^3 = -I$