与えられた二つの4x4行列の行列式を計算し、正則行列である場合は逆行列も求める問題です。行列はそれぞれ以下の通りです。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた二つの4x4行列の行列式を計算し、正則行列である場合は逆行列も求める問題です。行列はそれぞれ以下の通りです。

(1)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 3 & 4 & 5 \\

1 & 2 & 5 & 6 \\

1 & 2 & 3 & 7

\end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 1 \\

2 & 3 & 1 & 2 \\

3 & 2 & 1 & 3 \\

1 & 2 & 1 & 4

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列の行列式を計算します。

行列式を計算する際、行基本変形を用いて計算を簡略化します。

まず、2行目から1行目を引く、3行目から1行目を引く、4行目から1行目を引く操作を行います。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 3 & 4 & 5 \\

1 & 2 & 5 & 6 \\

1 & 2 & 3 & 7

\end{vmatrix}$

=

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 2 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 3

\end{vmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

$det = 1 * 1 * 2 * 3 = 6$

行列式が0でないので、逆行列が存在します。逆行列を求めるためには、掃き出し法を用います。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 3 & 4 & 5 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 5 & 6 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 2 & 3 & 7 &|& 0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

計算を続けると逆行列は

$\begin{pmatrix}

3 & 0 & -1 & -2 \\

-2 & 1 & 1 & 0 \\

-1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

(2) 行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 & 1 \\

2 & 3 & 1 & 2 \\

3 & 2 & 1 & 3 \\

1 & 2 & 1 & 4

\end{vmatrix}$

1列目と3列目が同じなので、行列式は0です。

3. 最終的な答え

(1) 行列式：6

逆行列：

$\begin{pmatrix}

3 & 0 & -1 & -2 \\

-2 & 1 & 1 & 0 \\

-1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

(2) 行列式：0

逆行列：存在しない。