半径 $r$、質量 $m$ の球体が、高さ $h$ の斜面を転がり落ちる。 i. 斜面下端での球体の速度 $v$ を求める。 ii. 摩擦のない斜面で質点を滑らせた場合と比較して、並進運動のエネルギーの減少分が回転運動のエネルギーとなっていることを確認する。

1. 問題の内容

半径 $r$、質量 $m$ の球体が、高さ $h$ の斜面を転がり落ちる。

i. 斜面下端での球体の速度 $v$ を求める。

ii. 摩擦のない斜面で質点を滑らせた場合と比較して、並進運動のエネルギーの減少分が回転運動のエネルギーとなっていることを確認する。

2. 解き方の手順

i. エネルギー保存則を用いる。球体の初期位置におけるポテンシャルエネルギーは $mgh$ である。斜面下端では、このエネルギーは並進運動のエネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ と回転運動のエネルギー $\frac{1}{2}I\omega^2$ に変換される。ここで $I$ は球体の慣性モーメントであり、$I = \frac{2}{5}mr^2$ となる。$\omega$ は回転角速度であり、$v = r\omega$の関係がある。

エネルギー保存則より、

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2$

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$

$mgh = \frac{7}{10}mv^2$

$gh = \frac{7}{10}v^2$

$v^2 = \frac{10}{7}gh$

$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

ii. 摩擦のない斜面を質点が滑り降りる場合、エネルギー保存則から、

$mgh = \frac{1}{2}mv_{滑り}^2$

$v_{滑り}^2 = 2gh$

$v_{滑り} = \sqrt{2gh}$

この場合、並進運動のエネルギーは $mgh$ である。

球が転がり落ちる場合は、並進運動のエネルギーは $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{10}{7}gh) = \frac{5}{7}mgh$。

回転運動のエネルギーは $\frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{5}mv^2 = \frac{1}{5}m(\frac{10}{7}gh) = \frac{2}{7}mgh$。

並進運動のエネルギーの減少分は $mgh - \frac{5}{7}mgh = \frac{2}{7}mgh$。

これは回転運動のエネルギーに等しい。

3. 最終的な答え

i. 斜面下端での速度: $v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

ii. 並進運動のエネルギーの減少分が回転運動のエネルギーとなっていることが確認できた。