水平な地面に置かれた質量 $M$ の大砲が、水平と角 $\theta$ の方向に質量 $m$ の砲弾を発射する問題です。 A. 砲弾が砲身に対して相対速度 $v$ で打ち出されたとき、砲弾が受けた力積の鉛直方向成分の大きさを求める。 B. 発射直後、大砲は速度 $V$ で後退した。大砲と地面との間に摩擦がないものとしたとき、静止した第三者から見た砲弾の速度 $v'$ の水平方向成分を、$V$, $v$, $\theta$ を用いて表す。

1. 問題の内容

水平な地面に置かれた質量 $M$ の大砲が、水平と角 $\theta$ の方向に質量 $m$ の砲弾を発射する問題です。

A. 砲弾が砲身に対して相対速度 $v$ で打ち出されたとき、砲弾が受けた力積の鉛直方向成分の大きさを求める。

B. 発射直後、大砲は速度 $V$ で後退した。大砲と地面との間に摩擦がないものとしたとき、静止した第三者から見た砲弾の速度 $v'$ の水平方向成分を、$V$, $v$, $\theta$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

A. 力積の鉛直方向成分

砲弾の相対速度 $v$ は、水平方向と角度 $\theta$ をなすので、鉛直方向成分は $v\sin\theta$ となります。

力積は運動量の変化に等しいので、砲弾が受けた力積の鉛直方向成分の大きさは、砲弾の質量 $m$ と速度の鉛直方向成分の積で表されます。

B. 砲弾の速度の水平方向成分

まず、大砲と砲弾の運動量保存則を考えます。

発射前は大砲も砲弾も静止しているので、運動量の和は0です。

発射直後は、大砲は速度 $V$ で後退し、砲弾は速度 $v'$ で飛び出します。水平方向の運動量保存の式は、

$MV + mv'_x = 0$

ここで $v'_x$ は静止した第三者から見た砲弾の水平方向の速度成分です。

ただし、大砲の後退する方向を正とします（座標系の取り方に注意）。

また、砲弾の速度の水平成分は大砲から見て $v\cos\theta$ なので、静止している第三者から見ると、

$v'_x - V = v\cos\theta$

となります。したがって、

$v'_x = v\cos\theta + V$

この式を運動量保存の式に代入します。

$MV + m(v\cos\theta + V) = 0$

これから $V$ について解きます。

$V(M+m) = -mv\cos\theta$

$V = -\frac{mv\cos\theta}{M+m}$

これを $v'_x = v\cos\theta + V$　に代入すると、

$v'_x = v\cos\theta - \frac{mv\cos\theta}{M+m}$

$v'_x = v\cos\theta (1 - \frac{m}{M+m})$

$v'_x = v\cos\theta (\frac{M+m-m}{M+m})$

$v'_x = \frac{M}{M+m} v\cos\theta$

3. 最終的な答え

A. $mv\sin\theta$

B. $\frac{M}{M+m} v\cos\theta$