無限遠における万有引力ポテンシャルを 0 とした場合、人工衛星が持つ力学的エネルギーを求めよ。

1. 問題の内容

無限遠における万有引力ポテンシャルを 0 とした場合、人工衛星が持つ力学的エネルギーを求めよ。

2. 解き方の手順

人工衛星の力学的エネルギーは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和で表されます。

* **運動エネルギー (KE)**: $KE = \frac{1}{2}mv^2$ (m は衛星の質量、v は速度)

* **ポテンシャルエネルギー (PE)**: $PE = -\frac{GMm}{r}$ (G は万有引力定数、M は地球の質量、r は地球の中心からの距離)

人工衛星が円軌道を描いて運動している場合、向心力は万有引力によって供給されます。したがって、

$$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$$

この式から、$mv^2$ を求めます。

$$mv^2 = \frac{GMm}{r}$$

運動エネルギーを書き換えます。

$$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{GMm}{r}$$

力学的エネルギー E は、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和なので、

$$E = KE + PE = \frac{1}{2}\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}$$

3. 最終的な答え

人工衛星が持つ力学的エネルギーは $-\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}$ です。