微小立方体から流れ出る湧き出し量を、与えられた速度ベクトル $\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}$ を用いて、発散 (div) を計算することで求める。

1. 問題の内容

微小立方体から流れ出る湧き出し量を、与えられた速度ベクトル $\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}$ を用いて、発散 (div) を計算することで求める。

2. 解き方の手順

発散の定義を思い出す。速度ベクトル $\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}$ の発散は次のように計算される。

$\text{div} \mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$

ここで、$\nabla$ はナブラ演算子である。

問題文より、速度ベクトルは $\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}$ と与えられているので、上記の発散の公式に代入すると、湧き出し量を求めることができる。

3. 最終的な答え

湧き出し量は、速度ベクトルの発散として与えられるので、

$\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$