行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ です。ここで $I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} -1 - \lambda & 1 \\ 1 & -2 - \lambda \end{bmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (-1 - \lambda)(-2 - \lambda) - (1)(1) = 2 + \lambda + 2\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0$

この二次方程式を解くと、固有値 $\lambda$ は次のようになります。

$\lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

よって、固有値は $\lambda_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ と $\lambda_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、$(A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求めます。

$\begin{bmatrix} -1 - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & -2 - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1 - \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} x + y = 0$ より、$y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} x$ となります。したがって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ \sqrt{5} - 1 \end{bmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$(A - \lambda_2 I) \mathbf{v} = 0$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求めます。

$\begin{bmatrix} -1 - \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & -2 - \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} x + y = 0$ より、$y = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} x$ となります。したがって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 - \sqrt{5} \end{bmatrix}$ となります。

固有ベクトルを並べて、対角化行列 $P$ を作ります。

$P = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -1 - \sqrt{5} \end{bmatrix}$

$P^{-1}$ を求めます。$\det(P) = 2(-1 - \sqrt{5}) - 2(\sqrt{5} - 1) = -2 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 2 = -4\sqrt{5}$

$P^{-1} = \frac{1}{-4\sqrt{5}} \begin{bmatrix} -1 - \sqrt{5} & -2 \\ 1 - \sqrt{5} & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 + \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -2 \end{bmatrix}$

$A$ の対角化は $D = P^{-1}AP$ であり、$D = \begin{bmatrix} \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ となります。

$A^n = PD^nP^{-1}$ を計算します。

$D^n = \begin{bmatrix} (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -1 - \sqrt{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n \end{bmatrix} \frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 + \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -2 \end{bmatrix}$

$A^n = \frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n & 2(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n \\ (\sqrt{5} - 1)(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n & (-1 - \sqrt{5})(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 + \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -2 \end{bmatrix}$

$A^n = \frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix} (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n(2+2\sqrt{5}) + (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n(2\sqrt{5}-2) & 4(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n - 4(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n \\ (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n(4) + (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n(-4) & (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n(2\sqrt{5}-2)+(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n(2+2\sqrt{5}) \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix} (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n(2+2\sqrt{5}) + (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n(2\sqrt{5}-2) & 4(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n - 4(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n \\ 4(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n - 4(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n & (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})^n(2\sqrt{5}-2)+(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2})^n(2+2\sqrt{5}) \end{bmatrix}$