与えられた数式の値を計算します。数式は、$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は、$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である$\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}$

ここで、$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = A$ とおくと、与式は次のようになります。

$\frac{(A + \sqrt{2})(A + \sqrt{2})}{(A - \sqrt{2})(A + \sqrt{2})} = \frac{(A + \sqrt{2})^2}{A^2 - (\sqrt{2})^2}$

$A^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

$(A + \sqrt{2})^2 = A^2 + 2\sqrt{2}A + 2 = 8 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 2 = 10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}$

$A^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{15} - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$

したがって、与式は次のようになります。

$\frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

さらに、分母を有理化するために、分母の共役な複素数である$3 - \sqrt{15}$を分母と分子にかけます。

$\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{150} + 3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{9 - 15} = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$