放物線 $y = x^2 + ax + b$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動した放物線が $y = x^2$ であるとき, $a$ と $b$ の値を求めよ.

代数学放物線平行移動二次関数方程式
2025/7/28

1. 問題の内容

放物線 y=x2+ax+by = x^2 + ax + bxx 軸方向に2, yy 軸方向に -1 だけ平行移動した放物線が y=x2y = x^2 であるとき, aabb の値を求めよ.

2. 解き方の手順

放物線 y=x2+ax+by = x^2 + ax + bxx 軸方向に2, yy 軸方向に -1 だけ平行移動した放物線の方程式は, xxx2x-2 に, yyy+1y+1 に置き換えることで得られる.
つまり,
y+1=(x2)2+a(x2)+by+1 = (x-2)^2 + a(x-2) + b
y=(x2)2+a(x2)+b1y = (x-2)^2 + a(x-2) + b - 1
y=x24x+4+ax2a+b1y = x^2 - 4x + 4 + ax - 2a + b - 1
y=x2+(a4)x+(32a+b)y = x^2 + (a-4)x + (3 - 2a + b)
これが y=x2y = x^2 と一致するので,
xx の係数と定数項がそれぞれ等しい.
a4=0a - 4 = 0
32a+b=03 - 2a + b = 0
一つ目の式より a=4a = 4 である.
これを二つ目の式に代入すると,
32(4)+b=03 - 2(4) + b = 0
38+b=03 - 8 + b = 0
5+b=0-5 + b = 0
b=5b = 5
したがって, a=4a = 4 かつ b=5b = 5 である.

3. 最終的な答え

a=4a = 4, b=5b = 5

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