広義積分 $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2} dx$ は積分可能かどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2} dx$ は積分可能かどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲に $x=0$ が含まれているため、これは広義積分です。したがって、積分を次のように分割して考えます。

$\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{- \epsilon} \frac{1}{x^2} dx + \lim_{\epsilon \to -0} \int_{\epsilon}^{0} \frac{1}{x^2} dx$

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

したがって、

$\int_{a}^{-\epsilon} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{a}^{-\epsilon} = -\frac{1}{-\epsilon} - \left( -\frac{1}{a} \right) = \frac{1}{\epsilon} + \frac{1}{a}$

$\int_{\epsilon}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\epsilon}^{0} = -\frac{1}{0} - \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) = \frac{1}{\epsilon}$

$\lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{- \epsilon} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} (\frac{1}{\epsilon} + \frac{1}{a}) = \frac{1}{\epsilon} + 0 = \frac{1}{\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to -0} \int_{\epsilon}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\epsilon \to -0} \frac{1}{\epsilon} = - \infty$

$\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{- \epsilon} \frac{1}{x^2} dx + \lim_{\epsilon \to -0} \int_{\epsilon}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{\epsilon} - \infty = - \infty$

積分は収束しないため、積分不可能です。

3. 最終的な答え

積分不可能。