$\lim_{x \to +0} x^x$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} x^x$ を求める。

2. 解き方の手順

$y = x^x$ とおく。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

$\lim_{x \to +0} \ln y = \lim_{x \to +0} x \ln x = \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{1/x}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \ln y = 0$ となる。

ここで、$y = e^{\ln y}$ であるから、

$\lim_{x \to +0} y = \lim_{x \to +0} e^{\ln y} = e^{\lim_{x \to +0} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} x^x = 1$