関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6$ の極大値と極小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6$ の極大値と極小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* ステップ1: $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 12x$

* ステップ2: $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める（極値の候補）。

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

* ステップ3: $f'(x)$ の符号の変化を調べるために、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = 6x - 12$

* ステップ4: $x = 0$ と $x = 4$ での $f''(x)$ の値を調べる。

$f''(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0$

$f''(4) = 6(4) - 12 = 12 > 0$

$f''(0) < 0$ であるので、$x = 0$ で極大値をとり、$f''(4) > 0$ であるので、$x = 4$ で極小値をとる。

* ステップ5: 極大値と極小値を求める。

$f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 6 = 6$

$f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 6 = 64 - 96 + 6 = -26$

したがって、極大値は $6$、極小値は $-26$ です。

3. 最終的な答え

極大値: 6

極小値: -26