関数 $f(x) = -2x^3 + 6x + 1$ の極大値と極小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^3 + 6x + 1$ の極大値と極小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を計算します。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値の候補となる点です。

(3) 求めた $x$ の値の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するか調べます。符号が正から負に変わる点が極大値、負から正に変わる点が極小値を与える $x$ の値です。

(4) 極大値、極小値を与える $x$ の値を元の関数 $f(x)$ に代入して、極大値、極小値を求めます。

まず、$f(x) = -2x^3 + 6x + 1$ を微分します。

$f'(x) = -6x^2 + 6$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-6x^2 + 6 = 0$

$-6(x^2 - 1) = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = -1$ と $x = 1$ が極値の候補です。

次に、$x = -1$ と $x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号の変化を調べます。

- $x < -1$ のとき、$x^2 > 1$ なので、$f'(x) = -6(x^2 - 1) < 0$

- $-1 < x < 1$ のとき、$x^2 < 1$ なので、$f'(x) = -6(x^2 - 1) > 0$

- $x > 1$ のとき、$x^2 > 1$ なので、$f'(x) = -6(x^2 - 1) < 0$

したがって、$x = -1$ で $f'(x)$ の符号が負から正に変わるので、$x = -1$ で極小値をとり、$x = 1$ で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるので、$x = 1$ で極大値をとります。

$x = -1$ のとき、

$f(-1) = -2(-1)^3 + 6(-1) + 1 = -2(-1) - 6 + 1 = 2 - 6 + 1 = -3$

$x = 1$ のとき、

$f(1) = -2(1)^3 + 6(1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5$

よって、極大値は $5$、極小値は $-3$ です。

3. 最終的な答え

極大値：5

極小値：-3