関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$ の極値を求め、グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$ の極値を求め、グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$

(2) 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 12x + 12 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

(3) $x = 2$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

$x < 2$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$

$f'(x)$ は $x=2$ の前後で符号が変わらないため、$x = 2$ は極値を持ちません。

$x=2$ のとき $f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 12(2) - 3 = 8 - 24 + 24 - 3 = 5$.

(4) $f''(x)$を求める。

$f''(x) = 6x - 12$

$f''(2) = 6(2) - 12 = 0$

$x=2$ は変曲点です。

(5) グラフを描く。$x=2$ で傾きが0になる点 $(2, 5)$ があり、$f(x)$ は単調増加である。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$ は極値を持ちません。変曲点は $(2,5)$。