関数 $f(x) = 4x^3 - 3x$ の増減を調べ、単調増加する区間と単調減少する区間を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4x^3 - 3x$ の増減を調べ、単調増加する区間と単調減少する区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 12x^2 - 3$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$12x^2 - 3 = 0$

$12x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{1}{2}$

(3) $x = -\frac{1}{2}$ と $x = \frac{1}{2}$ を用いて、数直線を3つの区間に分け、$f'(x)$ の符号を調べる。

- $x < -\frac{1}{2}$ のとき: 例えば $x = -1$ とすると、$f'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$ なので、$f'(x) > 0$。

- $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき: 例えば $x = 0$ とすると、$f'(0) = 12(0)^2 - 3 = -3 < 0$ なので、$f'(x) < 0$。

- $x > \frac{1}{2}$ のとき: 例えば $x = 1$ とすると、$f'(1) = 12(1)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$ なので、$f'(x) > 0$。

(4) $f'(x) > 0$ のとき、$f(x)$ は単調増加、$f'(x) < 0$ のとき、$f(x)$ は単調減少する。したがって、

- $x < -\frac{1}{2}$ および $x > \frac{1}{2}$ のとき、$f(x)$ は単調増加する。

- $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、$f(x)$ は単調減少する。

3. 最終的な答え

区間 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ と $(\frac{1}{2}, \infty)$ で単調に増加し、区間 $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ で単調に減少する。