与えられた関数の極限 $\lim_{x\to 2} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x\to 2} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この極限を直接計算しようとすると、$\frac{0}{0}$ の不定形になることがわかります。そこで、分子と分母をそれぞれ有理化することで不定形を解消します。

まず、分子を有理化します。分子に $x + \sqrt{3x-2}$ を掛けて分子と分母を割ります。

$\lim_{x\to 2} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x - \sqrt{3x-2})(x + \sqrt{3x-2})}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 - (3x-2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})}$

次に、分子を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$\lim_{x\to 2} \frac{(x-1)(x-2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})}$

次に、分母を有理化します。分母に $\sqrt{x+2} + 2$ を掛けて分子と分母を割ります。

$\lim_{x\to 2} \frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x+2 - 4)(x + \sqrt{3x-2})} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x-2)(x + \sqrt{3x-2})}$

$(x-2)$ を約分します。

$\lim_{x\to 2} \frac{(x-1)(\sqrt{x+2} + 2)}{x + \sqrt{3x-2}}$

$x$ に $2$ を代入します。

$\frac{(2-1)(\sqrt{2+2} + 2)}{2 + \sqrt{3(2)-2}} = \frac{(1)(\sqrt{4} + 2)}{2 + \sqrt{4}} = \frac{2 + 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1$

3. 最終的な答え

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