$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するためには、分母が0に近づくとき、分子も0に近づく必要があります。なぜなら、もし分子が0に近づかない定数であるならば、極限は無限大に発散してしまうからです。

したがって、$x=1$ を分子に代入すると0になる必要があります。

$1^2 + a(1) + b = 0$

これから、$1 + a + b = 0$ なので、 $b = -a - 1$ となります。

この関係を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x-1} = 3$

分子を因数分解します。 $x^2 + ax - a - 1 = x^2 - 1 + a(x - 1) = (x-1)(x+1) + a(x-1) = (x-1)(x+1+a)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1+a)}{x-1} = 3$

$x \ne 1$ のとき、$x-1$ で約分できます。

$\lim_{x \to 1} (x+1+a) = 3$

$x \to 1$ の極限を取ると、 $1 + 1 + a = 3$ となります。

したがって、$2 + a = 3$ より、$a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -2$