次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母にそれぞれの共役複素数を掛けます。

分子の共役複素数は $\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}$ であり、分母の共役複素数は $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x - (1+x^2))(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(1-x^2 - (1-x))(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(x - x^2)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(x - x^2)(-\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - x)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{x(1 + x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$x \neq 0$ なので、$x$ で割ると

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 - x)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(x - x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1-x)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(-x^2+x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1-x)(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x})}{x(-x+1)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x})}{x(-\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}}{(-x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

ここで x -> 0 とすると、

$\frac{\sqrt{1-0} + \sqrt{1-0}}{-(\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}}{(-x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

ここで、分子と分母をxで割ります。

$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - x}{x(1)} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x-x^2}{x - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x(1-x)}{x(1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(1)}{(-x)(-1)}$

ここで x = 0 に代入すると

$\frac{(1 - 0)(\sqrt{1 - 0} + \sqrt{1 - 0})}{(1)(\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0})} = \frac{(1)(1 + 1)}{(1+1)} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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