極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x^2-1$ は $0$ に近づきます。

極限値が存在するためには、分子 $\sqrt{x+a} + b$ も $x \to 1$ のとき $0$ に近づく必要があります。

したがって、

$\sqrt{1+a} + b = 0$

が成り立ちます。これから、$b = -\sqrt{1+a}$ となります。

これを元の式に代入して、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a}}{x^2-1} = \frac{1}{8}$

となります。

ここで、分子を有理化します。

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a})(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}{(x^2-1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\lim_{x \to 1} \frac{x+a - (1+a)}{(x^2-1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$x \neq 1$ であることを考慮して、$x-1$ で約分すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$x \to 1$ の極限をとると、

$\frac{1}{(1+1)(\sqrt{1+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{2 \cdot 2\sqrt{1+a}} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{4\sqrt{1+a}} = \frac{1}{8}$

$4\sqrt{1+a} = 8$

$\sqrt{1+a} = 2$

$1+a = 4$

$a = 3$

また、$b = -\sqrt{1+a}$ より、

$b = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2$

したがって、$a = 3, b = -2$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -2$