与えられた定積分の値を計算します。 $\int_{1}^{2e} \frac{dx}{x}$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{2e} \frac{dx}{x}$

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int \frac{1}{x} dx$ を計算します。$\frac{1}{x}$ の積分は $\ln|x|$ です。

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

次に、定積分 $\int_{1}^{2e} \frac{dx}{x}$ を計算します。定積分は、不定積分に積分区間の上限と下限を代入して、それらの差を計算することで求められます。

$\int_{1}^{2e} \frac{dx}{x} = \ln|2e| - \ln|1|$

ここで、$\ln|1| = 0$ であり、$\ln|2e| = \ln(2e) = \ln 2 + \ln e = \ln 2 + 1$ となります。

したがって、

$\int_{1}^{2e} \frac{dx}{x} = \ln 2 + 1 - 0 = \ln 2 + 1$

3. 最終的な答え

$\ln 2 + 1$