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関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ の、区間 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

解析学微分関数の最大値と最小値単調増加関数
2025/7/28

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3−3x2+3xf(x) = x^3 - 3x^2 + 3x の、区間 −1≤x≤2-1 \le x \le 2 における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。
f′(x)=3x2−6x+3=3(x2−2x+1)=3(x−1)2f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは、x=1x = 1 のときです。
次に、区間の端点と極値における f(x)f(x) の値を計算します。
x=−1x = -1 のとき、f(−1)=(−1)3−3(−1)2+3(−1)=−1−3−3=−7f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 3(-1) = -1 - 3 - 3 = -7
x=1x = 1 のとき、f(1)=(1)3−3(1)2+3(1)=1−3+3=1f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1
x=2x = 2 のとき、f(2)=(2)3−3(2)2+3(2)=8−12+6=2f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) = 8 - 12 + 6 = 2
これらの値の中で、最大値は 22 で、最小値は −7-7 です。
f′(x)=3(x−1)2≥0f'(x) = 3(x-1)^2 \ge 0 より、f(x)f(x) は x=1x=1 で極値を取り、単調増加関数であるため、x=1x=1 で極小値、または変曲点となります。

3. 最終的な答え

最大値：2
最小値：-7

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