関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 25$ の $-4 < x < 4$ における最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 25$ の $-4 < x < 4$ における最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$4x^2(x - 3) = 0$ より、$x = 0, 3$

次に、増減表を作成して、極値の候補を調べます。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

- $0 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ では極値を取らず、$x = 3$ で極小値を取ります。

$f(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 25 = 81 - 4 \cdot 27 + 25 = 81 - 108 + 25 = -2$

区間の端点での関数の値を調べます。

$x = -4$ のとき、$f(-4) = (-4)^4 - 4(-4)^3 + 25 = 256 - 4(-64) + 25 = 256 + 256 + 25 = 537$

$x$が$4$に近づくとき、$f(x)$は$f(4) = 4^4 - 4 \cdot 4^3 + 25 = 256 - 256 + 25 = 25$に近づきます。ただし、$x<4$なので$x=4$での値は考慮しません。

$x=3$で極小値をとり、その値は$f(3) = -2$です。

区間$-4 < x < 4$において、$x=3$はこの区間に含まれます。また、$f(-4)=537$、$f(4)=25$であり、$x=3$での値である$f(3) = -2$が最も小さい値となります。

3. 最終的な答え

-2