不等式 $-\sqrt{x+1} > -x+5$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $-\sqrt{x+1} > -x+5$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である条件から、$x+1 \geq 0$、すなわち $x \geq -1$ である必要があります。

次に、与えられた不等式を整理します。

$-\sqrt{x+1} > -x+5$

$\sqrt{x+1} < x-5$

ここで、$x-5$ の符号によって場合分けします。

(i) $x-5 < 0$、つまり $x < 5$ のとき：

このとき、$\sqrt{x+1}$ は常に非負なので、不等式 $\sqrt{x+1} < x-5$ は成立しません。

したがって、$x < 5$ の範囲では解は存在しません。

(ii) $x-5 \geq 0$、つまり $x \geq 5$ のとき：

$\sqrt{x+1} < x-5$ の両辺は非負なので、2乗することができます。

$x+1 < (x-5)^2$

$x+1 < x^2 - 10x + 25$

$0 < x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 > 0$

この2次不等式を解くために、$x^2 - 11x + 24 = 0$ の解を求めます。

$(x-3)(x-8) = 0$

$x = 3, 8$

したがって、$x^2 - 11x + 24 > 0$ の解は、$x < 3$ または $x > 8$ です。

(i), (ii) の場合分けと $x \geq -1$ の条件を考慮すると、

(i)では解なし。

(ii)では、$x \geq 5$ かつ ($x < 3$ または $x > 8$) である必要があります。

$x \geq 5$ と $x < 3$ を同時に満たす $x$ は存在しません。

したがって、$x \geq 5$ かつ $x > 8$ となり、$x > 8$ となります。

3. 最終的な答え

$x > 8$