2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、$a, b, c, b^2 - 4ac, a+b+c, a-b+c$ の正、0、負を判定する。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、$a, b, c, b^2 - 4ac, a+b+c, a-b+c$ の正、0、負を判定する。

2. 解き方の手順

(1)

* $a$ の符号: グラフが下に凸なので、$a > 0$。

* $c$ の符号: $y$切片は正なので、$c > 0$。

* 軸の位置: 軸は $x = -\frac{b}{2a}$ であり、$y$軸の左側にあるので $-\frac{b}{2a} < 0$。$a > 0$ より、$-b < 0$ となり、$b > 0$。

* $b^2 - 4ac$ の符号: グラフは $x$ 軸と2点で交わるので、$b^2 - 4ac > 0$。

* $a + b + c$ の符号: $x = 1$ のとき、$y > 0$ であるから、$a(1)^2 + b(1) + c > 0$。したがって、$a + b + c > 0$。

* $a - b + c$ の符号: $x = -1$ のとき、$y > 0$ であるから、$a(-1)^2 + b(-1) + c > 0$。したがって、$a - b + c > 0$。

(2)

* $a$ の符号: グラフが上に凸なので、$a < 0$。

* $c$ の符号: $y$切片は0なので、$c = 0$。

* 軸の位置: 軸は $x = -\frac{b}{2a}$ であり、$y$軸の左側にあるので $-\frac{b}{2a} < 0$。$a < 0$ より、$-b > 0$ となり、$b < 0$。

* $b^2 - 4ac$ の符号: グラフは $x$ 軸と1点で交わるので、$b^2 - 4ac = 0$。

* $a + b + c$ の符号: $x = 1$ のとき、$y < 0$ であるから、$a(1)^2 + b(1) + c < 0$。したがって、$a + b + c < 0$。

* $a - b + c$ の符号: $x = -1$ のとき、$y < 0$ であるから、$a(-1)^2 + b(-1) + c < 0$。したがって、$a - b + c < 0$。

3. 最終的な答え

(1)

* $a > 0$

* $b > 0$

* $c > 0$

* $b^2 - 4ac > 0$

* $a + b + c > 0$

* $a - b + c > 0$

(2)

* $a < 0$

* $b < 0$

* $c = 0$

* $b^2 - 4ac = 0$

* $a + b + c < 0$

* $a - b + c < 0$