与えられた4つの2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。 (1) $y = 2x^2 - 16x$ (2) $y = 2x^2 - 4x + 5$ (3) $y = -2x^2 - 8x - 10$ (4) $y = -3x^2 + 9x + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。

(1) $y = 2x^2 - 16x$

(2) $y = 2x^2 - 4x + 5$

(3) $y = -2x^2 - 8x - 10$

(4) $y = -3x^2 + 9x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 16x$

- $x^2$ の係数でくくります。

$y = 2(x^2 - 8x)$

- 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分 $(-8/2 = -4)$ を二乗して加減します。

$y = 2(x^2 - 8x + (-4)^2 - (-4)^2)$

$y = 2((x - 4)^2 - 16)$

- 括弧を外します。

$y = 2(x - 4)^2 - 32$

(2) $y = 2x^2 - 4x + 5$

- $x^2$ の係数でくくります。

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

- 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分 $(-2/2 = -1)$ を二乗して加減します。

$y = 2(x^2 - 2x + (-1)^2 - (-1)^2) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

- 括弧を外します。

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

(3) $y = -2x^2 - 8x - 10$

- $x^2$ の係数でくくります。

$y = -2(x^2 + 4x) - 10$

- 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分 $(4/2 = 2)$ を二乗して加減します。

$y = -2(x^2 + 4x + (2)^2 - (2)^2) - 10$

$y = -2((x + 2)^2 - 4) - 10$

- 括弧を外します。

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 10$

$y = -2(x + 2)^2 - 2$

(4) $y = -3x^2 + 9x + 1$

- $x^2$ の係数でくくります。

$y = -3(x^2 - 3x) + 1$

- 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分 $(-3/2)$ を二乗して加減します。

$y = -3(x^2 - 3x + (-3/2)^2 - (-3/2)^2) + 1$

$y = -3((x - 3/2)^2 - 9/4) + 1$

- 括弧を外します。

$y = -3(x - 3/2)^2 + 27/4 + 1$

$y = -3(x - 3/2)^2 + 31/4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x - 4)^2 - 32$

(2) $y = 2(x - 1)^2 + 3$

(3) $y = -2(x + 2)^2 - 2$

(4) $y = -3(x - 3/2)^2 + 31/4$