放物線 $y = x^2 + 2(2a+1)x + a+1$ が、$x$軸と異なる2点で交わるときの定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2(2a+1)x + a+1$ が、$x$軸と異なる2点で交わるときの定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、2次方程式 $x^2 + 2(2a+1)x + a+1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つことである。

これは、この2次方程式の判別式 $D$ が $D>0$ を満たすことと同値である。

判別式 $D$ を計算する。

$D = [2(2a+1)]^2 - 4(1)(a+1) = 4(4a^2+4a+1) - 4(a+1) = 16a^2+16a+4 - 4a - 4 = 16a^2 + 12a$

$D>0$ より、

$16a^2 + 12a > 0$

$4a(4a + 3) > 0$

この不等式を解く。

$a<-\frac{3}{4}$ または $a>0$

3. 最終的な答え

$a<-\frac{3}{4}$ または $a>0$