不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である必要があるため、$x+3 \ge 0$、つまり $x \ge -3$ が必要条件です。

次に、不等式の両辺を2乗します。

$(\sqrt{x+3})^2 < (x+1)^2$

$x+3 < x^2 + 2x + 1$

$0 < x^2 + x - 2$

$x^2 + x - 2 > 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $x^2 + x - 2 = 0$ の解を求めます。

因数分解すると $(x+2)(x-1) = 0$ となるので、$x = -2, 1$ が解です。

したがって、$x^2 + x - 2 > 0$ の解は $x < -2$ または $x > 1$ となります。

ここで、最初に求めた $x \ge -3$ という条件と合わせると、$x$ の範囲は $-3 \le x < -2$ または $x > 1$ となります。

最後に、与えられた不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ において、右辺の $x+1$ が負になる場合を考慮する必要があります。

$x+1<0$ ならば、$x < -1$ となり、このとき$\sqrt{x+3}$ は必ず非負なので、不等式は成り立ちません。

したがって、$x > -1$ の範囲で考えれば良いです。

$x > 1$ は $x > -1$ を満たすので、これは解として適切です。

$-3 \le x < -2$ は $x > -1$ を満たさないので除外します。

しかし、$x < -2$ を満たしていても、元の不等式の条件から $x \ge -3$ である必要があるので、$x$ は $-3$ より大きく、$-2$ より小さい範囲である必要があります。この範囲は $x+1$ が負になりうる範囲を含んでいます。

$x+1 < 0$ となるのは $x < -1$ のときなので、$x \ge -3$ の範囲でこの不等式が成り立つ条件を考えます。

$x=-3$のとき、$\sqrt{-3+3} < -3+1$ つまり $0 < -2$ となり、これは成り立ちません。

$x=-2.5$のとき、$\sqrt{-2.5+3} < -2.5+1$ つまり $\sqrt{0.5} < -1.5$ となり、これは成り立ちません。

つまり、$x < -1$ の範囲では、$\sqrt{x+3} < x+1$ は成り立ちません。

したがって、不等式の解は $x > 1$ のみとなります。

3. 最終的な答え

$x > 1$