与えられた4つの微分方程式を、変数分離形を用いて解き、与えられた初期条件を満たす特殊解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの微分方程式を、変数分離形を用いて解き、与えられた初期条件を満たす特殊解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $xy' = 1$, $y(1) = 3$ ($x > 0$)

* $y' = \frac{dy}{dx}$なので、$x \frac{dy}{dx} = 1$と書けます。

* 変数分離すると、$dy = \frac{1}{x}dx$

* 両辺を積分すると、$\int dy = \int \frac{1}{x} dx$

* 積分結果は、$y = \ln |x| + C$

$x > 0$なので、$y = \ln x + C$

* 初期条件$y(1) = 3$を代入すると、$3 = \ln 1 + C = 0 + C$

よって、$C = 3$

* したがって、特殊解は、$y = \ln x + 3$

(2) $xdx - e^y dy = 0$, $y(0) = 2$

* $xdx = e^y dy$

* 両辺を積分すると、$\int x dx = \int e^y dy$

* 積分結果は、$\frac{x^2}{2} = e^y + C$

* 初期条件$y(0) = 2$を代入すると、$\frac{0^2}{2} = e^2 + C$

よって、$C = -e^2$

* したがって、$\frac{x^2}{2} = e^y - e^2$

$e^y = \frac{x^2}{2} + e^2$

$y = \ln(\frac{x^2}{2} + e^2)$

(3) $y' = y \cos x$, $y(0) = 1$

* $\frac{dy}{dx} = y \cos x$

* 変数分離すると、$\frac{dy}{y} = \cos x dx$

* 両辺を積分すると、$\int \frac{1}{y} dy = \int \cos x dx$

* 積分結果は、$\ln |y| = \sin x + C$

* 初期条件$y(0) = 1$を代入すると、$\ln |1| = \sin 0 + C$

$0 = 0 + C$

よって、$C = 0$

* したがって、$\ln |y| = \sin x$

$|y| = e^{\sin x}$

$y = e^{\sin x}$ ($y(0)=1>0$より)

(4) $x \frac{dy}{dx} = \tan y$, $y(1) = \frac{\pi}{6}$

* $\frac{dy}{\tan y} = \frac{dx}{x}$

* $\cot y dy = \frac{dx}{x}$

* 両辺を積分すると、$\int \cot y dy = \int \frac{1}{x} dx$

* 積分結果は、$\ln |\sin y| = \ln |x| + C$

* 初期条件$y(1) = \frac{\pi}{6}$を代入すると、$\ln |\sin \frac{\pi}{6}| = \ln |1| + C$

$\ln |\frac{1}{2}| = 0 + C$

$C = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$

* したがって、$\ln |\sin y| = \ln |x| - \ln 2 = \ln \frac{|x|}{2}$

$|\sin y| = \frac{|x|}{2}$

$\sin y = \frac{x}{2}$（$x>0$かつ初期条件から$\sin y > 0$と仮定して絶対値をはずす)

$y = \arcsin \frac{x}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \ln x + 3$

(2) $y = \ln(\frac{x^2}{2} + e^2)$

(3) $y = e^{\sin x}$

(4) $y = \arcsin \frac{x}{2}$