関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数を求めます。

(1) $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{2y+1}{y-p}$

(2) $y$ について解きます。

$x(y-p) = 2y + 1$

$xy - xp = 2y + 1$

$xy - 2y = xp + 1$

$y(x-2) = xp + 1$

$y = \frac{xp+1}{x-2}$

よって、逆関数は $y = \frac{xp+1}{x-2}$ です。

問題文より、逆関数が元の関数と一致するので、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$

両辺の分子と分母を比較します。

$2x+1 = px+1$ および $x-p = x-2$ が成り立つ必要があります。

$x-p = x-2$ より、 $-p = -2$ となり、$p=2$ が得られます。

$p=2$ を $\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$に代入すると、$\frac{2x+1}{x-2} = \frac{2x+1}{x-2}$となります。これは常に成り立ちます。

しかし、これは必要条件を満たしているだけで、十分条件を確認する必要があります。

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ と $y = \frac{px+1}{x-2}$ が一致する必要があります。

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$

両辺に$(x-p)(x-2)$をかけると、

$(2x+1)(x-2) = (px+1)(x-p)$

$2x^2 -4x + x -2 = px^2 -p^2 x + x - p$

$2x^2 -3x - 2 = px^2 + (1-p^2)x - p$

この式が恒等式となるためには、各項の係数が一致する必要があります。

$x^2$の係数より、$2 = p$

$x$の係数より、$-3 = 1-p^2$

定数項より、$-2 = -p$

$p=2$を代入すると、$1-p^2 = 1-4 = -3$となり、一致します。

$-p = -2$より、$p=2$となり一致します。

したがって、$p=2$

3. 最終的な答え

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