関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

逆関数を求める方法として、$y = f(x)$ とおき、$x$ について解き、$x$ と $y$ を入れ替える方法がある。

まず、$y = \frac{2x+a}{x+3}$ とおく。

両辺に $x+3$ を掛けて、$y(x+3) = 2x+a$ となる。

展開して、$yx + 3y = 2x + a$ 。

$x$ について整理すると、$yx - 2x = a - 3y$。

$x(y-2) = a - 3y$。

よって、$x = \frac{a-3y}{y-2}$。

$x$ と $y$ を入れ替えると、$y = \frac{a-3x}{x-2}$ となる。

これが逆関数 $f^{-1}(x)$ である。

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{a-3x}{x-2}$。

与えられた逆関数は、$f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ である。

ここで、$f^{-1}(x) = \frac{a-3x}{x-2} = \frac{-3x+a}{x-2}$ である。

分子と分母に $-1$ を掛けると、

$f^{-1}(x) = \frac{3x-a}{-x+2} = \frac{3x-a}{2-x}$ となる。

$f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ と $f^{-1}(x) = \frac{3x-a}{2-x}$ を比較する。

$\frac{3x+4}{bx+2} = \frac{3x-a}{-x+2}$

それぞれの分母分子を比較して、

$3x+4 = k(3x-a)$

$bx+2 = k(2-x)$

分子に着目すると、$3x+4 = -1 * (3x-a)$ より、$3x+4 = -3x + a$ となるので条件を満たさない。

分母に着目すると、$bx+2 = -1 * (2-x)$ より、$bx+2 = x-2$。$b=1$であればよい。

$3x-a = -(3x+4)$なので、$3x-a = -3x - 4$となりこれも条件を満たさない。

分母を一致させることを考える。$bx+2 = k(2-x)$より

$bx+2 = 2k - kx$となるため、$b = -k$, $2 = 2k$。よって、$k = 1$となり、$b = -1$。

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{-x+2} = \frac{3x+4}{2-x}$。

同様に、分子を一致させることを考える。$3x-a = k(3x+4)$より$3x-a = 3kx+4k$となるため、$3 = 3k$, $-a = 4k$。よって、$k = 1$となり、$a = -4$。

したがって、$f(x) = \frac{2x-4}{x+3}$の逆関数は、$f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{-x+2}$。

したがって、$a = -4$, $b = -1$ である。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -1$