関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とします。 $f^{-1}(5) = 4$ と $f^{-1}(-5) = -1$ が与えられたとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とします。 $f^{-1}(5) = 4$ と $f^{-1}(-5) = -1$ が与えられたとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、逆関数の性質を利用します。$f^{-1}(5) = 4$ より、$f(4) = 5$ が成り立ちます。同様に、$f^{-1}(-5) = -1$ より、$f(-1) = -5$ が成り立ちます。

これらの値を $f(x) = ax + b$ に代入すると、以下の2つの式が得られます。

$4a + b = 5$

$-1a + b = -5$

次に、これらの連立方程式を解きます。2つの式を引き算すると、

$(4a + b) - (-1a + b) = 5 - (-5)$

$4a + b + a - b = 10$

$5a = 10$

$a = 2$

$a=2$ を $4a + b = 5$ に代入すると、

$4(2) + b = 5$

$8 + b = 5$

$b = -3$

3. 最終的な答え

したがって、$a = 2$、$b = -3$ です。