関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ が与えられたとき、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ が与えられたとき、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は、$f(f(x))$ を意味します。つまり、$f(x)$ の式の中の $x$ を $f(x)$ で置き換えることで求めることができます。

まず、$f(x) = \frac{x-1}{x}$ なので、

$f(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right)$

次に、$f(x)$ の式の中の $x$ を $\frac{x-1}{x}$ で置き換えます。

$f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}$

分子を計算します。

$\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1 - x}{x} = \frac{-1}{x}$

したがって、

$f(f(x)) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

これは、 $\frac{-1}{x} \div \frac{x-1}{x} = \frac{-1}{x} \times \frac{x}{x-1}$ と変形できます。

$f(f(x)) = \frac{-1}{x} \times \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = -\frac{1}{x-1}$