関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) が与えられている。合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) が与えられている。合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(f \circ f)(x)$ を求める。これは $f(f(x))$ を意味する。

まず、$f(x) = x^2 + 2$ であるから、

$f(f(x)) = f(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 + 2$

これを展開して整理する。

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。これは $f(g(x))$ を意味する。

$f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$

これを整理する。

(3) それぞれの合成関数の定義域を考慮する。

(1) $f(f(x))$ について

$f(x) = x^2 + 2$ の定義域は $x \geq 0$ であり、$f(x)$ の値域は $f(x) \geq 2$ である。

したがって、$f(f(x))$ は $x \geq 0$ で定義される。

$f(f(x)) = (x^2+2)^2 + 2 = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$

(2) $f(g(x))$ について

$g(x) = \sqrt{x-2}$ の定義域は $x \geq 2$ であり、$g(x)$ の値域は $g(x) \geq 0$ である。

$f(x) = x^2 + 2$ の定義域は $x \geq 0$ である。

したがって、$f(g(x))$ は $x \geq 2$ で定義される。

$f(g(x)) = (\sqrt{x-2})^2 + 2 = x-2 + 2 = x$

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$ ($x \geq 0$)

$(f \circ g)(x) = x$ ($x \geq 2$)