関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を計算する。

$g(f(x)) = g\left(\frac{2x+1}{x+3}\right) = \frac{-3\left(\frac{2x+1}{x+3}\right) + 4}{\frac{2x+1}{x+3} - 2}$

分子と分母に $(x+3)$ をかける。

$g(f(x)) = \frac{-3(2x+1) + 4(x+3)}{2x+1 - 2(x+3)} = \frac{-6x - 3 + 4x + 12}{2x + 1 - 2x - 6} = \frac{-2x + 9}{-5} = \frac{2x - 9}{5}$

次に、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を計算する。

$f(g(x)) = f\left(\frac{-3x+4}{x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{-3x+4}{x-2}\right) + 1}{\frac{-3x+4}{x-2} + 3}$

分子と分母に $(x-2)$ をかける。

$f(g(x)) = \frac{2(-3x+4) + (x-2)}{-3x+4 + 3(x-2)} = \frac{-6x+8 + x - 2}{-3x + 4 + 3x - 6} = \frac{-5x + 6}{-2} = \frac{5x - 6}{2}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{2x - 9}{5}$

$(f \circ g)(x) = \frac{5x - 6}{2}$