与えられた微分方程式について、指定された形の特殊解 $y_0$ を求め、それを用いて一般解を求める問題です。ここでは、(1) の問題を解きます。 (1) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x + 1$ ($y_0 = Ax + B$)

1. 問題の内容

与えられた微分方程式について、指定された形の特殊解 $y_0$ を求め、それを用いて一般解を求める問題です。ここでは、(1) の問題を解きます。

(1) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x + 1$ ($y_0 = Ax + B$)

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた特殊解の形 $y_0 = Ax + B$ を微分方程式に代入し、係数 $A$ と $B$ を求めます。

$y_0 = Ax + B$ より、

$\frac{dy_0}{dx} = A$

$\frac{d^2y_0}{dx^2} = 0$

これらを微分方程式に代入すると、

$0 + 4A + 3(Ax + B) = 3x + 1$

$3Ax + (4A + 3B) = 3x + 1$

係数を比較して、

$3A = 3$

$4A + 3B = 1$

これらの連立方程式を解くと、

$A = 1$

$4(1) + 3B = 1$

$3B = -3$

$B = -1$

したがって、特殊解は $y_0 = x - 1$ となります。

次に、同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は $r^2 + 4r + 3 = 0$ です。

$(r+1)(r+3) = 0$

$r = -1, -3$

したがって、同次方程式の一般解は $y_h = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ となります。

最後に、一般解は特殊解と同次方程式の一般解の和で表されます。

$y = y_0 + y_h = x - 1 + C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$

3. 最終的な答え

一般解は $y = x - 1 + C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ です。