次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{(2x - \pi)^2}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{(2x - \pi)^2}$

2. 解き方の手順

まず、$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となります。

このとき、

$1 - \sin x = 1 - \sin(t + \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos t$

$2x - \pi = 2(t + \frac{\pi}{2}) - \pi = 2t$

となるので、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{(2x - \pi)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{(2t)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{4t^2}$

ここで、$1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$ であることを用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{t}{2})}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(\frac{t}{2})}{t^2} = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{t}{2})}{t}\right)^2$

さらに、$\frac{\sin(\frac{t}{2})}{t} = \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2}$ であるから、

$\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{t}{2})}{t}\right)^2 = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}}\right)^2 \cdot \frac{1}{4}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} = 1$ であるから、

$\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$