与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 8y = 3\cos x + 11\sin x$ の特殊解 $y_0 = A\sin x + B\cos x$ を求める。つまり、定数 $A$ と $B$ の値を決定する。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式

$\frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 8y = 3\cos x + 11\sin x$

の特殊解 $y_0 = A\sin x + B\cos x$ を求める。つまり、定数 $A$ と $B$ の値を決定する。

2. 解き方の手順

まず、$y_0 = A\sin x + B\cos x$ を微分する。

$\frac{dy_0}{dx} = A\cos x - B\sin x$

次に、もう一度微分する。

$\frac{d^2 y_0}{dx^2} = -A\sin x - B\cos x$

これらの結果を元の微分方程式に代入する。

$(-A\sin x - B\cos x) - 4(A\cos x - B\sin x) + 8(A\sin x + B\cos x) = 3\cos x + 11\sin x$

これを整理して、$\sin x$ と $\cos x$ の係数を比較する。

$\sin x$ の係数: $-A + 4B + 8A = 7A + 4B = 11$

$\cos x$ の係数: $-B - 4A + 8B = -4A + 7B = 3$

連立方程式

$7A + 4B = 11$

$-4A + 7B = 3$

を解く。

一つ目の式を4倍、二つ目の式を7倍すると

$28A + 16B = 44$

$-28A + 49B = 21$

この2式を足すと

$65B = 65$

したがって、$B = 1$

これを $7A + 4B = 11$ に代入すると

$7A + 4 = 11$

$7A = 7$

したがって、$A = 1$

3. 最終的な答え

$A = 1$, $B = 1$

よって、特殊解は $y_0 = \sin x + \cos x$