$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた極限は、$\frac{0}{0}$の不定形であるため、ロピタルの定理を利用することができます。しかし、ここでは、より基本的な極限の性質を利用して解きます。

まず、$t = \sin x$ と置きます。$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ であるため、与えられた極限は、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t}$

と書き換えることができます。

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+x)}{x} = 1$ であることを利用します。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ の分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\frac{d}{dx} \log_e(1 + \sin x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1 + \sin x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x}$

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

3. 最終的な答え

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