与えられた微分方程式に対して、指定された形の特殊解を求め、それを用いて一般解を求める問題です。ここでは、問題(1)を解きます。 問題(1): $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x + 1$ 特殊解の形: $y_0 = Ax + B$

## 微分方程式の特殊解と一般解を求める

1. 問題の内容

与えられた微分方程式に対して、指定された形の特殊解を求め、それを用いて一般解を求める問題です。ここでは、問題(1)を解きます。

問題(1):

$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x + 1$

特殊解の形: $y_0 = Ax + B$

2. 解き方の手順

(1) 特殊解の形を微分方程式に代入する。

$y_0 = Ax + B$ より、

$\frac{dy_0}{dx} = A$

$\frac{d^2y_0}{dx^2} = 0$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$0 + 4A + 3(Ax + B) = 3x + 1$

$3Ax + (4A + 3B) = 3x + 1$

(2) 係数を比較して、AとBの値を決定する。

$x$ の係数を比較すると、$3A = 3$ より $A = 1$

定数項を比較すると、$4A + 3B = 1$ より $4(1) + 3B = 1$ なので、$3B = -3$ よって $B = -1$

したがって、特殊解は $y_0 = x - 1$

(3) 同次方程式の一般解を求める。

与えられた微分方程式の同次方程式は、

$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 0$

特性方程式は、

$\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0$

$(\lambda + 1)(\lambda + 3) = 0$

$\lambda = -1, -3$

したがって、同次方程式の一般解は、

$y_h = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ ($C_1, C_2$は任意定数)

(4) 一般解は、特殊解と同次方程式の一般解の和で表される。

$y = y_0 + y_h = x - 1 + C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$

3. 最終的な答え

問題(1)の一般解は、

$y = x - 1 + C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ （$C_1$, $C_2$ は任意定数）