極限 $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義に関連する極限の形に変形することで解くことができます。

まず、与えられた式を次のように変形します。

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{-2}{x} \right)^x$

ここで、$t = -\frac{x}{2}$ と置くと、$x = -2t$ となり、$x \to \infty$ のとき、$t \to -\infty$ です。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{-2}{x} \right)^x = \lim_{t \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{-2t} = \lim_{t \to -\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{-2}$

$e$ の定義より $\lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t = e$ であり、$t \to -\infty$ の場合も $\lim_{t \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t = e$ が成り立ちます。

（これは、例えば $u = -t$ と置き換えて $u \to \infty$ の場合を考えれば容易に確かめられます。）

したがって、

$\lim_{t \to -\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e^2}$