$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を使用します。

$x \to 0$ のとき、分子は $e^{2(0)} - e^{-0} = 1 - 1 = 0$ に近づき、分母も $0$ に近づくので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形になっています。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^{2x} - e^{-x}) = 2e^{2x} - (-1)e^{-x} = 2e^{2x} + e^{-x}$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^{-x}}{1}$

$x \to 0$ のとき、$2e^{2x} + e^{-x}$ は $2e^{2(0)} + e^{-0} = 2(1) + 1 = 3$ に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^{-x}}{1} = 3$

別の解法として、テイラー展開を使う方法もあります。

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$ を用いると、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \dots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{(-x)^2}{2!} + \dots$

したがって

$e^{2x} - e^{-x} = (1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2} + \dots) = 3x + O(x^2)$

$\frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \frac{3x + O(x^2)}{x} = 3 + O(x)$

したがって $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = 3$

3. 最終的な答え

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