極限 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+1-1}{x+1} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^x$

次に、指数関数の極限の公式 $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = e^a$ を利用するために、式を調整します。

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} \cdot \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^{-1}$

ここで、$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} = e^{-1}$ です。また、$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^{-1} = (1-0)^{-1} = 1$ です。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^x = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$