与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 12y = e^x + e^{2x}$ について、特殊解 $y_0$ を $y_0 = Ae^x + Be^{2x}$ の形で求め、一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 12y = e^x + e^{2x}$

について、特殊解 $y_0$ を $y_0 = Ae^x + Be^{2x}$ の形で求め、一般解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式の同次方程式の解を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 12y = 0$

特性方程式は、

$\lambda^2 + \lambda - 12 = 0$

$(\lambda + 4)(\lambda - 3) = 0$

$\lambda = -4, 3$

したがって、同次方程式の一般解は

$y_h = C_1e^{-4x} + C_2e^{3x}$

次に、非同次方程式の特殊解 $y_0$ を $y_0 = Ae^x + Be^{2x}$ の形で仮定し、元の微分方程式に代入して $A$ と $B$ を決定する。

$\frac{dy_0}{dx} = Ae^x + 2Be^{2x}$

$\frac{d^2y_0}{dx^2} = Ae^x + 4Be^{2x}$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(Ae^x + 4Be^{2x}) + (Ae^x + 2Be^{2x}) - 12(Ae^x + Be^{2x}) = e^x + e^{2x}$

$(A + A - 12A)e^x + (4B + 2B - 12B)e^{2x} = e^x + e^{2x}$

$-10Ae^x - 6Be^{2x} = e^x + e^{2x}$

したがって、

$-10A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{10}$

$-6B = 1 \Rightarrow B = -\frac{1}{6}$

特殊解は、

$y_0 = -\frac{1}{10}e^x - \frac{1}{6}e^{2x}$

最後に、一般解は同次方程式の解と特殊解の和であるから、

$y = y_h + y_0 = C_1e^{-4x} + C_2e^{3x} - \frac{1}{10}e^x - \frac{1}{6}e^{2x}$

3. 最終的な答え

特殊解：$y_0 = -\frac{1}{10}e^x - \frac{1}{6}e^{2x}$

一般解：$y = C_1e^{-4x} + C_2e^{3x} - \frac{1}{10}e^x - \frac{1}{6}e^{2x}$