$\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ を求める。

2. 解き方の手順

$x-1 = t$ と置換すると、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となる。

また、$x = t+1$ であるから、

$\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{1-e^{2(t+1)-2}} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{1-e^{2t}}$

ここで、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{t\to 0} \frac{t}{1-e^{2t}} = \lim_{t\to 0} \frac{\frac{d}{dt}(t)}{\frac{d}{dt}(1-e^{2t})} = \lim_{t\to 0} \frac{1}{-2e^{2t}}$

$t \to 0$ のとき、 $e^{2t} \to e^{0} = 1$ であるから、

$\lim_{t\to 0} \frac{1}{-2e^{2t}} = \frac{1}{-2(1)} = -\frac{1}{2}$

あるいは、$e^x$ のマクローリン展開 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ を用いる。

$\lim_{t\to 0} \frac{t}{1-e^{2t}} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{1-(1 + 2t + \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^3}{3!} + \dots)} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{-2t - \frac{4t^2}{2} - \frac{8t^3}{6} - \dots} = \lim_{t\to 0} \frac{1}{-2 - 2t - \frac{4t^2}{3} - \dots} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$