関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ この関数が実数全体で連続になるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

この関数が実数全体で連続になるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があります。

$f(0) = a$ であるため、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を計算し、その値が $a$ に等しくなるように $a$ を定めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を計算するために、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

1回微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$ となります。

これはまだ $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

2回微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ です。

関数が $x=0$ で連続であるためには、$a = \frac{1}{2}$ でなければなりません。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$