与えられた分数 $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{3} - 1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

したがって、

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

分子の各項を2で割ります。

$\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$