関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) - 1$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) - 1$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 2x$ と置きます。すると、与えられた関数は $y = t^2 + 4t - 1$ となります。

次に、平方完成をして、$y$ を $t$ の関数として最小値を求めます。

$y = t^2 + 4t - 1 = (t^2 + 4t + 4) - 4 - 1 = (t + 2)^2 - 5$

したがって、$t = -2$ のとき、$y$ は最小値 $-5$ を取ります。

次に、$t = x^2 - 2x$ の取りうる値の範囲を調べます。

$t = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$

したがって、$t$ は $x = 1$ のとき最小値 $-1$ を取ります。つまり、$t \geq -1$ です。

$y = (t+2)^2 - 5$ は $t \geq -1$ の範囲で増加関数なので、$t = -1$ のとき、$y$ は最小値を取ります。

$t = -1$ を代入すると、$y = (-1+2)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

$t = x^2 - 2x = -1$ となる $x$ の値は、$x^2 - 2x + 1 = 0$ より $(x-1)^2 = 0$ なので $x = 1$ です。

$t$ に上限がないため、$y$ にも上限がありません。よって、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最小値：$-4$ ($x=1$のとき)

最大値：なし