$$ \int_0^y ye^x dx = y \int_0^y e^x dx = y [e^x]_0^y = y(e^y - e^0) = y(e^y - 1) $$

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1. 問題の内容

問題[3]は、重積分 $\iint_D ye^x dxdy$ の値を、領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le y, 0 \le y \le 1\}$ で求めよ、というものです。

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2. 解き方の手順

この重積分を累次積分に変換して計算します。領域 $D$ は $0 \le y \le 1$ および $0 \le x \le y$ で定義されているため、$y$ について先に積分し、次に $x$ について積分します。

1. 内側の積分（$x$ についての積分）を行います。

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\int_0^y ye^x dx = y \int_0^y e^x dx = y [e^x]_0^y = y(e^y - e^0) = y(e^y - 1)

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2. 外側の積分（$y$ についての積分）を行います。

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\int_0^1 y(e^y - 1) dy = \int_0^1 ye^y dy - \int_0^1 y dy

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3. $\int_0^1 ye^y dy$ を部分積分で計算します。$u = y$, $dv = e^y dy$ とすると、$du = dy$, $v = e^y$ となります。

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\int_0^1 ye^y dy = [ye^y]_0^1 - \int_0^1 e^y dy = (1e^1 - 0e^0) - [e^y]_0^1 = e - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1

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4. $\int_0^1 y dy$ を計算します。

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\int_0^1 y dy = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}

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5. したがって、

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\int_0^1 y(e^y - 1) dy = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$